学習ポイントNavi 高校1年数学（数Ⅰ）

整式・式の計算

展開公式（必須暗記）

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
(a+b)(a²−ab+b²) = a³ + b³
(a−b)(a²+ab+b²) = a³ − b³

因数分解の手順

共通因数でくくる
項数で公式を判断:
- 2項: a²−b² = (a+b)(a−b)、 a³±b³
- 3項: x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)、 (a±b)²、たすき掛け
- 4項: 2項+2項に分けて共通因数
必要なら置きかえや1文字で整理

たすき掛け

acx² + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d) の形に分解する技。

例) 6x² + 7x − 3 = (2x+3)(3x−1)
2×(−1) + 3×3 = −2+9 = 7 ✓

実数・根号を含む式

実数の分類

有理数: 整数の比（分数）で表せる。整数、有限小数、循環小数。
無理数: 有理数でない実数。√2, √3, π, e など。
絶対値: |a| = a (a≥0), −a (a<0)。|x−a| = (x と a の距離)。

根号を含む式の計算

√a×√b = √(ab)、 √a÷√b = √(a/b)、 a√b = √(a²b)（a≥0）
分母の有理化:
- 1/√a → √a/a
- 1/(√a+√b) → (√a−√b)/(a−b)
- 1/(a+√b) → (a−√b)/(a²−b)
二重根号: √(a+b±2√(ab)) = √a ± √b（a>b>0）

1次不等式

不等式の性質

両辺に同じ数を足す／引く: 不等号の向きそのまま
両辺に同じ正の数をかける／割る: そのまま
両辺に同じ負の数をかける／割る: 不等号の向きが逆

例) −2x + 3 ≥ 7 → −2x ≥ 4 → x ≤ −2（負で割るので逆向き）

連立不等式・絶対値を含む不等式

連立: 各不等式の解の共通部分。数直線で図示。
|x| < a → −a < x < a
|x| > a → x < −a または x > a
|x−p| = q → x = p±q

集合と命題

集合

記号: ∈（属する）、⊂（部分集合）、∪（和集合）、∩（共通部分）、Aᶜ（補集合）、∅（空集合）
ド・モルガンの法則: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ、 (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ

命題と条件

名称	命題
元の命題	p ⇒ q
逆	q ⇒ p
裏	¬p ⇒ ¬q
対偶	¬q ⇒ ¬p

元の命題と対偶は真偽が一致。これを利用するのが「対偶証明法」。

必要条件・十分条件

p ⇒ q が真のとき、p は q の十分条件、q は p の必要条件。
p ⇔ q（双方向）が真のとき、必要十分条件。

背理法

命題の否定を仮定して矛盾を導く証明法。「√2は無理数」「素数は無限にある」などの古典的証明で使われます。

2次関数

2次関数のグラフ

標準形: y = a(x−p)² + q

頂点 (p, q)、軸 x = p
a>0: 下に凸、a<0: 上に凸
|a|が大きいほどグラフは細い

一般形: y = ax² + bx + c → 平方完成で標準形に。

例) y = x² − 4x + 5 = (x−2)² + 1。頂点(2, 1)、軸 x=2。

2次関数の最大・最小

定義域が実数全体なら、頂点が最大値または最小値。
定義域がある区間のとき、頂点が区間内か外かで場合分け:
- 頂点が区間内: 頂点で最大/最小、端の値も比較
- 頂点が区間外: 区間の両端の値を比較

2次関数の決定

頂点(p, q)が与えられている → y = a(x−p)² + q
軸 x = p が与えられている → y = a(x−p)² + q
3点を通る → y = ax² + bx + c に代入して連立

2次方程式・2次不等式

2次方程式

解の公式: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)
判別式 D = b² − 4ac
D > 0: 異なる2実数解、 D = 0: 重解、 D < 0: 実数解なし
解と係数の関係: 2解を α, β とすると、α + β = −b/a、 αβ = c/a

2次関数のグラフとx軸の交点

y = ax² + bx + c のグラフと x軸の交点 ⇔ ax² + bx + c = 0 の解。判別式 D の符号で交点の個数が決まる。

2次不等式

グラフが x軸より上 or 下にある範囲を求めます。

a>0 のとき	D>0 (2解 α<β)	D=0 (重解 α)	D<0
ax²+bx+c > 0	x<α または x>β	x≠α のすべての実数	すべての実数
ax²+bx+c < 0	α<x<β	解なし	解なし

三角比

直角三角形の三角比

$\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$
$\cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$
$\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$

特殊角の値（暗記）

$\theta$	30°	45°	60°	90°
$\sin\theta$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$0$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	—

三角比の相互関係

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$

三角比の拡張（0°〜180°）

単位円で定義します。座標 $(\cos\theta, \sin\theta)$ の点が、$x$軸正の方向と角 $\theta$ をなす点。

$\sin(180°-\theta) = \sin\theta$
$\cos(180°-\theta) = -\cos\theta$
$\tan(180°-\theta) = -\tan\theta$

正弦定理

△ABCの外接円の半径を $R$ とすると:

$\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

余弦定理

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

変形: $\displaystyle \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

三角形の面積

$\displaystyle S = \frac{1}{2} bc \sin A$
ヘロンの公式: $\displaystyle s = \frac{a+b+c}{2}$ として $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
内接円の半径 $r$: $\displaystyle S = \frac{1}{2}(a+b+c)\, r$
外接円の半径 $R$: $\displaystyle S = \frac{abc}{4R}$

データの分析

代表値とばらつき

平均値 $\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
中央値、最頻値
範囲 = 最大値 − 最小値
四分位数、四分位範囲、箱ひげ図

分散と標準偏差

分散 $\displaystyle s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$（別公式: $\displaystyle s^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$）
標準偏差 $s = \sqrt{s^2}$。元のデータと同じ単位なので、ばらつきを直感的に把握しやすい。

相関

散布図: 2変数のデータを点でプロット。
共分散 $\displaystyle s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
相関係数 $\displaystyle r = \frac{s_{xy}}{s_x \, s_y}$（$-1 \le r \le 1$）
$r \fallingdotseq +1$: 強い正の相関、 $r \fallingdotseq -1$: 強い負の相関、 $r \fallingdotseq 0$: 相関なし

仮説検定の素地

標本から得られた値が、母集団でどの程度起こりうるかを評価する考え方。