多項式
展開
多項式同士の積を、単項式の和の形に直すこと。
分配法則
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
乗法公式（必須暗記）
- (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
- (x+a)² = x² + 2ax + a²
- (x−a)² = x² − 2ax + a²
- (x+a)(x−a) = x² − a²
例) (x+3)(x+5) = x² + 8x + 15
例) (x−4)² = x² − 8x + 16
例) (2x+3)(2x−3) = 4x² − 9
いろいろな展開
共通部分を1つの文字とおく（置きかえ）と、複雑な式も公式で展開できます。
因数分解
展開の逆。多項式を積の形に直します。
基本パターン
- 共通因数でくくる: 6x² − 9x = 3x(2x − 3)
- x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b): 例) x²+5x+6 = (x+2)(x+3)
- x² + 2ax + a² = (x+a)²: 例) x²+6x+9 = (x+3)²
- x² − a² = (x+a)(x−a): 例) x²−16 = (x+4)(x−4)
手順
- まず共通因数があるか確認 → くくり出す
- 次にどのパターンに当てはまるか確認
- 必要なら置きかえや組み合わせ
平方根
平方根の意味
x² = a を満たす x を「a の平方根」といいます。aが正のとき、平方根は正と負の2つあります。記号 √。
- √a (≥0) と −√a。 √a² = |a|。
- (√a)² = a (a≥0)
- √0 = 0
根号を含む式の計算
乗除
- √a × √b = √(ab)
- √a ÷ √b = √(a/b)
- a√b = √(a²b)（a>0）
例) √8 = √(4×2) = 2√2
例) √12 × √3 = √36 = 6
加減
根号の中が同じ数のもの同士をまとめます（同類項のような扱い）。
例) 3√2 + 5√2 = 8√2
例) √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
分母の有理化
分母にルートが含まれるとき、分母・分子に同じ式をかけてルートをなくします。
例) 1/√2 = √2/(√2×√2) = √2/2
例) 3/(√3+1) = 3(√3−1)/{(√3+1)(√3−1)} = 3(√3−1)/2
平方根の応用
近似値（√2≒1.414, √3≒1.732, √5≒2.236）を覚えておくと便利です。
2次方程式
解き方の3パターン
ax² + bx + c = 0（a≠0）の形の方程式。
① 因数分解
(x−p)(x−q) = 0 → x = p, q
例) x² − 5x + 6 = 0 → (x−2)(x−3)=0 → x=2, 3
② 平方根を使う
(x−p)² = q → x − p = ±√q → x = p ± √q
例) (x−1)² = 4 → x−1 = ±2 → x = 3, −1
③ 解の公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
判別式 D = b² − 4ac から解の個数が分かります:
- D > 0: 異なる2つの実数解
- D = 0: 重解（1つの実数解）
- D < 0: 実数解なし（中学範囲では「解なし」）
例) 2x² + 3x − 1 = 0 → x = (−3 ± √(9+8))/4 = (−3 ± √17)/4
2次方程式の利用（文章題）
整数問題、面積問題、動点問題、図形と座標の組み合わせなど。解いたあと、解が問題に合うか必ず確認（例: 長さは正でなければならない）。
相似な図形
相似の意味
相似（記号 ∽）: 形は同じで、大きさだけが違う。対応する辺の比はすべて等しく、対応する角は等しい。相似比: 対応する辺の長さの比。
三角形の相似条件（3つ）
- 3組の辺の比がすべて等しい
- 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 2組の角がそれぞれ等しい
平行線と線分の比
- 三角形の2辺に平行な線が交わるとき、その線で切られた線分の比は等しい。
(△ABCで DE∥BC のとき) AD:DB = AE:EC = DE:BC - 中点連結定理: 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、もう1辺と平行で長さは半分。
- 3直線が平行のとき、それらが切る2直線上の線分の比は等しい。
面積比・体積比
- 相似比 m:n のとき、面積比 = m²:n²
- 相似比 m:n のとき、体積比 = m³:n³
円
円周角の定理
- 同じ弧に対する円周角はすべて等しい。
- 同じ弧に対する円周角は中心角の半分。
- 半円の弧に対する円周角は 90°（直径を見込む角）。
- 逆も成り立つ: 同じ弧の同じ側にある2点から見込む角が等しければ、4点は同一円周上にある。
円に内接する四角形
向かい合う角の和が 180°。
円と相似の組み合わせ
2つの弦が交わる、または1点から2本の割線が出るとき、相似な三角形ができます。これを使って線分の長さを求める問題が頻出。
三平方の定理
三平方の定理
直角三角形において、直角を挟む2辺の長さを a, b、斜辺の長さを c とすると:
a² + b² = c²
逆も成り立つ: a²+b²=c² が成り立つ三角形は直角三角形。
特別な直角三角形（暗記）
- 30°-60°-90°: 辺の比 1 : √3 : 2
- 45°-45°-90°: 辺の比 1 : 1 : √2
三平方の定理の応用
- 座標平面上の2点間の距離: 2点(x₁,y₁), (x₂,y₂)間の距離 = √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²}
- 直方体の対角線: √(a²+b²+c²)
- 円・正多角形の問題（中心から弦への距離、外接円・内接円）
- 立体図形の問題（角錐の高さ、最短経路）
関数 y = ax²
2次関数のグラフ（y=ax²）
原点を通る放物線。
- a>0: 下に凸（U字型）、頂点が最小値
- a<0: 上に凸（逆U字型）、頂点が最大値
- |a|が大きいほどグラフは細い（縦に長い）
- y軸（x=0）に関して対称
変化の割合
(yの増加量) ÷ (xの増加量)。1次関数と違って一定ではないのがポイント。
例) y = x² で x が 1→3 のとき、yは 1→9 だから、変化の割合 = 8/2 = 4
y=ax² の利用
- 動点問題（面積や距離が時間の2乗に比例）
- 放物線と直線の交点（連立して2次方程式に）
- 放物線上の三角形・四角形の面積
標本調査
全数調査と標本調査
- 全数調査: 対象すべてを調べる（国勢調査、入試）
- 標本調査: 一部を取り出して調べ、全体（母集団）を推定する（視聴率、世論調査）
標本の抽出と推定
- 無作為抽出: かたよりがないように選ぶ（くじ、乱数表）
- 標本の比率から母集団の数や比率を推定する。
例) 池の魚に印をつけて放流（100匹）、後日200匹捕獲したうち印付きが10匹 → 池の魚は約 100×200÷10 = 2000匹と推定。