式の計算
単項式と多項式
- 単項式: 数や文字の積でできた式（5x, −(3/2)a, 7ab²）。かけられている文字の個数が次数。
- 多項式: 単項式の和（−2ab+3, 5a²−2a+7）。各単項式が項、最大の次数がその多項式の次数。
例) a²b + 5ab − 3a²b² の項は a²b(3次), 5ab(2次), −3a²b²(4次)。多項式の次数は4次。
多項式の計算
同類項をまとめる
文字の部分が同じ項を1つにまとめます。
例) 4a − 2b − a + 3b = 3a + b
加法・減法
例) (a+5b) + (6a−3b) = 7a + 2b
例) (a−4b) − (3a−2b) = a−4b−3a+2b = −2a−2b（ひく方の符号をすべて反転）
乗法・除法（分配法則）
例) 3(2a+5b) = 6a + 15b
例) (−3x+2y) ÷ (−1/2) = 6x − 4y
通分してから分子を計算
例) (3a−b)/2 − (a−4b)/3 = {3(3a−b) − 2(a−4b)}/6 = (9a−3b−2a+8b)/6 = (7a+5b)/6
保護者の方へ：分数を含む計算は途中式を省くとミスの元です。「速さ」より「正確さ」を意識して練習を続けてください。
単項式の乗法・除法、式の値
- 乗法: 係数の積に文字の積をかける。例) 3a × 2b = 6ab、 (−2x)² = 4x²
- 除法: 分数に直して約分。例) 6a²b ÷ 2a = 3ab
- 乗除の混合: 全体を分数の形にして約分。例) 8x²y ÷ (−4x) × 3y = −6xy²
式の値: 代入する式は計算してから値を代入する。負の値を代入するときはカッコをつける。
例) a=5, b=−6 のとき 2(a+b) − 3(a−2b) = −a+8b = −5+8(−6) = −53
式による説明・等式の変形
連続する3つの整数を n−1, n, n+1、偶数を 2n、奇数を 2n+1 と表すなど、文字を使って一般化します。
例) 「連続する3つの整数の和は3の倍数」
(n−1)+n+(n+1) = 3n。3n は3の倍数。よって示せた。
等式の変形: 特定の文字について解く形に直す。
例) 2x+3y = 6 を y について解け。
3y = 6−2x → y = (6−2x)/3 = 2 − (2/3)x
連立方程式
解き方
2つの未知数（x, y）を含む2つの方程式を、両方満たす解を求めます。
加減法
一方の文字の係数をそろえて、足したり引いたりして消す。
例) ｛ x+y=5, 2x−y=4 ｝ → 加える: 3x=9 → x=3, y=2
代入法
一方の式を「y = …」の形に直し、もう一方に代入する。
例) ｛ y=2x−1, 3x+y=9 ｝ → 3x+(2x−1)=9 → 5x=10 → x=2, y=3
いろいろな連立方程式
- 分数・小数を含むときは、両辺を倍して整数にしてから解く。
- A=B=C 型は ｛A=B, B=C｝ または ｛A=B, A=C｝ に分けて解く。
文章題
2つの数量を x, y とおき、関係を2つの式に表します。
例) 鉛筆1本x円、ノート1冊y円。鉛筆3本＋ノート2冊で640円、鉛筆5本＋ノート1冊で580円。
｛3x+2y=640, 5x+y=580｝ → x=80, y=200
平行と合同
平行線と角
2直線が平行のとき、横切る直線との間で次が成り立ちます。
- 同位角は等しい
- 錯角は等しい
- 同側内角の和は 180°
逆も成り立つ: 同位角または錯角が等しければ、2直線は平行。
三角形の角
- 三角形の内角の和 = 180°
- 外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しい
- n角形の内角の和 = 180°×(n−2)、 外角の和 = 360°（常に）
合同な図形
合同（記号 ≡）: 形も大きさも同じ。対応する辺・角が等しい。
三角形の合同条件
- 3組の辺がそれぞれ等しい
- 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
証明の書き方
「仮定 → 推論（根拠とともに） → 結論」の形で書きます。「△ABC≡△DEF より、対応する辺は等しいので AB=DE」のような書き方を型として身につけましょう。
三角形と四角形
二等辺三角形・正三角形
- 二等辺三角形の性質: 底角が等しい。頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。
- 二等辺三角形になる条件: 2つの底角が等しい三角形は二等辺三角形。
- 正三角形: 3辺が等しい。3角も等しい（60°ずつ）。
直角三角形の合同条件
- 斜辺と1鋭角がそれぞれ等しい
- 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
平行四辺形
- 定義: 2組の対辺がそれぞれ平行な四角形。
- 性質: ①2組の対辺が等しい ②2組の対角が等しい ③対角線がそれぞれの中点で交わる
平行四辺形になるための条件（5つ）
- 2組の対辺がそれぞれ平行（定義）
- 2組の対辺がそれぞれ等しい
- 2組の対角がそれぞれ等しい
- 対角線がそれぞれの中点で交わる
- 1組の対辺が平行で、その長さが等しい
特別な平行四辺形
- 長方形: 4つの角が等しい平行四辺形。対角線の長さが等しい。
- ひし形: 4辺が等しい平行四辺形。対角線が垂直に交わる。
- 正方形: 長方形かつひし形。
1次関数
1次関数の式とグラフ
1次関数: y = ax + b（a, bは定数、a≠0）
- 傾き a: xが1増えたときのyの増加量。
- 切片 b: グラフがy軸と交わる点のy座標（x=0のときのy）。
- グラフは直線。a>0で右上がり、a<0で右下がり。
- 変化の割合 = (yの増加量) ÷ (xの増加量) = a
1次関数の式の決定
- 傾きと1点が分かるとき: y=ax+b に代入
- 2点が分かるとき: 2式を連立、または傾き=Δy/Δx で計算
例) 2点(1, 3), (4, 9)を通る1次関数 → 傾き=(9−3)/(4−1)=2、 3=2(1)+b → b=1、 y=2x+1
2元1次方程式とグラフ
- 2元1次方程式 ax+by=c のグラフは直線。
- 連立方程式の解 = 2直線の交点の座標。
- x軸に平行な直線: y=k、 y軸に平行な直線: x=k。
1次関数の利用
速さ・時間・距離、料金体系（基本料金＋使用量に比例）、温度変化、ダイヤグラムなどを1次関数で表します。
確率
確率の意味と求め方
確率 = 当てはまる場合の数 ÷ 起こりうる場合の数（すべての場合が同様に確からしいとき）
- 0 ≦ 確率 ≦ 1。0は決して起こらない、1は必ず起こる。
- あることが起こる確率を p とすると、起こらない確率は 1−p。
場合の数の数え方
- 樹形図: 順序があるとき。
- 表: サイコロ2個など2変数のとき。
- もれなく、重なりなく数える。
例) サイコロ2個を投げ、出た目の和が7になる確率。
全体: 6×6=36通り。和が7の組み合わせ: (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の6通り。
確率 = 6/36 = 1/6
データの活用（箱ひげ図）
四分位数
- データを4等分する3つの値:
- 第1四分位数 (Q1): 下位50%の中央値
- 第2四分位数 (Q2): 全体の中央値
- 第3四分位数 (Q3): 上位50%の中央値
- 四分位範囲 = Q3 − Q1（中央50%が分布する幅）
箱ひげ図
最小値・Q1・中央値・Q3・最大値を「箱」と「ひげ」で表したグラフ。複数のデータを並べて分布の比較に便利です。