学習ポイントNavi 中学1年 数学

整数の性質

素数

• 自然数: 1以上の整数。
• 素数: 2以上の自然数で、約数が1とその数自身の2つだけのもの。
  1は素数に含めません。

エラトステネスのふるい（1〜100の素数の見つけ方）

1. 1を消す
2. 2を残して、残りの2の倍数を消す
3. 3を残して、残りの3の倍数を消す
4. 5を残して、残りの5の倍数を消す
5. 7を残して、残りの7の倍数を消す
6. 残ったものが素数

結果: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 の25個。

保護者の方へ：11や13を消す手順がないのは、100=10×10なので10より小さな素数だけ考えればよいから。お子さまが疑問に思ったら教えてあげてください。

素因数分解

自然数を素数だけの積で表すこと。小さな素数で順に割っていきます。

例) 60 → 2)60 → 2)30 → 3)15 → 5 ⇒ 60 = 2²×3×5

例) 6 = 2×3、 8 = 2³、 12 = 2²×3、 90 = 2×3²×5

累乗

• 同じ数をいくつもかけたものを累乗という。
  7×7 = 7²（7の2乗）、5×5×5 = 5³（5の3乗）。
• 2乗のことを平方、3乗のことを立方とも呼ぶ。
• 指数: 7²の「2」、5³の「3」のように右肩に小さく書いた数。

最大公約数・最小公倍数（素因数分解の利用）

• 最大公約数: 共通の素因数だけをかける。
• 最小公倍数: 各素因数のうち、より大きい指数をとってかける。

例) 12=2²×3、18=2×3² → 最大公約数 = 2×3 = 6、 最小公倍数 = 2²×3² = 36

正負の数

正負の数の意味

• 正の数: 0より大きい数。+4, +7 のように「+（プラス）」をつけることがある。
• 負の数: 0より小さい数。−2, −5 のように「−（マイナス）」をつける。
• 整数 = 正の整数（自然数）／0／負の整数 の3種類。

数直線と数の大小

数直線では、0より右に正の数、左に負の数。右にあるほど大きい、左にあるほど小さい。

絶対値

数直線上で、ある数と原点との距離を、その数の絶対値といいます。記号 |x|。
例) |−5| = 5、 |+3| = 3、 |0| = 0

加法・減法

加法（たし算）

• 同符号の和: 共通の符号 + 絶対値の和。
  例) (+3)+(+5) = +8、 (−3)+(−5) = −8
• 異符号の和: 絶対値の大きい方の符号 + 絶対値の差。
  例) (+5)+(−3) = +2、 (+3)+(−5) = −2

減法（ひき算）

ひく数の符号を変えて加える（加法に直す）のがコツ。

例) (+5)−(+3) = (+5)+(−3) = +2

例) (+5)−(−3) = (+5)+(+3) = +8

乗法・除法

乗法（かけ算）

• 同符号の積は正、異符号の積は負。絶対値の積に符号をつける。
  例) (+2)×(+3) = +6、 (−2)×(−3) = +6、 (+2)×(−3) = −6
• 3つ以上の積の符号: 負の数が奇数個なら−、偶数個なら+。

除法（わり算）

• 符号の決め方は乗法と同じ。
• 逆数: 2数の積が1になるとき、一方を他方の逆数という。「ある数で割る」=「その数の逆数をかける」と同じ。

四則の混じった計算

計算順序: ① 累乗 → ② カッコの中 → ③ ×÷ → ④ +−

例) −2−(−5)×(−6) = −2−30 = −32

例) 6+(7−19)÷3 = 6+(−12)÷3 = 6+(−4) = 2

例) 6×(−2)³−(−3²) = 6×(−8)−(−9) = −48+9 = −39

※ (−3)²= 9 と −3²= −9 のちがいに注意。カッコがあるかないかで意味が変わります。

正負の数の利用（基準値からの平均）

テスト頻出パターン。基準値からの差で表されたデータの平均を求めるとき、差のまま平均してから最後に基準値を足すのが効率的です。

例) 6人の体重を65kg基準に表した差 +3, +4, −8, +7, +4, −11
差の平均 = (3+4−8+7+4−11)÷6 ≒ −0.17
体重の平均 = 65 + (−0.17) = 64.83 (kg)

文字と式

積・商の表し方

積の表し方

• ×記号は省く。a×b = ab
• 数を文字の前に書く。3×a = 3a
• 1や−1のときは1を省略する。1×a = a、 −1×a = −a
• 文字どうしはアルファベット順。b×a×c = abc
• 同じ文字の積は累乗で。a×a×a = a³

商の表し方

除法は分数で。a÷b = a/b

数量の表し方

文字を使った式で表すときは、文字を含む部分をカッコでかこみ、後ろに単位をつけます。

例) 1個 a 円のリンゴを5個買った代金 → (5a) 円

例) 時速 x km で 3時間進んだ距離 → (3x) km

割合の表し方

• a% → a/100、または 0.01a
• b割 → b/10、または 0.1b

円

• 円周率 = 円周 ÷ 直径。この値を「π（パイ）」と表す（小学校では3.14で代用していた）。
• 半径 r cm の円について:
  • 円周 = 2πr (cm)
  • 面積 = πr² (cm²)

項と係数・1次式の計算

• 項: 「2x+3」のとき、2xと3が項。
• 係数: xの前の数2が係数。
• 同類項: 文字の部分が同じ項どうし。係数を加減してまとめる。
  例) 3x+5x = 8x、 2a−7a = −5a
• 1次式の計算: 同類項どうしをまとめる。
  例) (3x+2)+(2x−5) = 5x−3、 (3x+2)−(2x−5) = x+7

保護者の方へ：途中式を省くとミスが増えます。「速く解く」より「途中式を書いて正確に」をほめてあげてください。

方程式

等式の性質と解き方

両辺に同じ数を足す／引く／かける／割る（0で割るのはダメ）と、等号は成り立ちます。

解き方の手順:

1. カッコがあれば外す
2. 分数があれば、両辺に分母の最小公倍数をかけて分母を払う
3. 文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項（移項するとき符号が変わる）
4. 両辺を整理して、xの係数で両辺を割る

例) 3x−5 = x+7 → 3x−x = 7+5 → 2x = 12 → x = 6

例) (x+1)/2 + (2x−1)/3 = 1 → 両辺×6 → 3(x+1)+2(2x−1) = 6 → 7x+1 = 6 → x = 5/7

方程式の応用（文章題）

分からない数をxとおいて、文章を式に表します。求めるものをそのままxにするのが基本。

頻出パターン: 過不足算、年齢算、速さ・時間・距離、食塩水の濃度、整数問題。

平面図形

基本用語

• 直線: 両側に限りなく伸びる／半直線: 一方が端／線分: 両端がある
• 2直線の関係: 平行（記号 ∥）、垂直（記号 ⊥）
• 角の大きさ: 度（°）。180° = 直線、90° = 直角。

図形の移動

• 平行移動: 一定の方向・距離だけずらす。
• 回転移動: ある点（回転の中心）を中心に同じ角度だけ回す。180°の回転を点対称移動という。
• 対称移動: ある直線（対称の軸）について反対側にうつす。

基本作図（コンパスと定規）

1. 垂直二等分線: 線分の両端を中心に同じ半径の円を描き、交点を結ぶ。
2. 角の二等分線: 角の頂点を中心に円を描き、両辺との交点を中心にさらに円を描き、交点を頂点と結ぶ。
3. 垂線: 直線上の点／直線外の点に対する垂線の引き方。

おうぎ形と円

• 円周 = 2πr、 円の面積 = πr²
• おうぎ形の弧の長さ = 2πr × (中心角/360°)
• おうぎ形の面積 = πr² × (中心角/360°)
• 別公式: おうぎ形の面積 = (1/2) × 弧の長さ × 半径

空間図形

立体の種類

• 角柱・円柱（柱体）: 上下に同じ底面が平行に2つ。
• 角錐・円錐（錐体）: 底面が1つで上が1点に集まる。
• 正多面体: 平面だけで囲まれ、全ての面が同じ正多角形。5種類しかない（正四・正六・正八・正十二・正二十面体）。
• 球: 中心からの距離が一定。

直線・平面の位置関係

2直線、直線と平面、2平面それぞれで 平行・垂直・ねじれの位置 を整理します。

立体の表面積と体積

体積

• 柱体（角柱・円柱）: V = 底面積 × 高さ
• 錐体（角錐・円錐）: V = (1/3) × 底面積 × 高さ
• 球: V = (4/3)πr³

表面積

• 柱体: 底面積 × 2 + 側面積
• 円柱の側面積: 2πr × h（展開すると長方形）
• 円錐の側面積: π × 母線 × 半径 = πℓr
• 球: 4πr²

投影図

正面（立面図）と上面（平面図）を組み合わせて立体を表す方法。

比例と反比例

比例

• 関数: y = ax（aは比例定数）
• x が2倍、3倍になると y も2倍、3倍。
• グラフは原点を通る直線。a>0 で右上がり、a<0 で右下がり。

反比例

• 関数: y = a/x（aは比例定数、x≠0）
• x が2倍、3倍になると y は1/2倍、1/3倍。
• グラフは双曲線。a>0 で第1・第3象限、a<0 で第2・第4象限。

座標

xy平面: x軸（横）とy軸（縦）が原点で垂直に交わる平面。点の位置を (x, y) で表す。

データの分析と活用

度数分布表とヒストグラム

• 階級: データを区切った範囲。階級値: 階級の真ん中の値。
• 度数: 各階級に入るデータの個数。
• 累積度数: 各階級までの度数を足し上げたもの。
• 相対度数 = (その階級の度数) ÷ (全体の度数)
• 累積相対度数: 各階級までの相対度数を足し上げたもの。
• ヒストグラム: 度数分布表をグラフにしたもの。柱と柱の間にすき間を入れない。

代表値

• 平均値 = データの和 ÷ 個数
• 中央値（メジアン）: データを大きさ順に並べたときの真ん中の値（個数が偶数なら中央2つの平均）
• 最頻値（モード）: 最も多く現れる値（度数分布表では最頻階級の階級値）
• 範囲 = 最大値 − 最小値

確率の素地

多数の試行で「相対度数」が一定の値に近づくことを観察します。これが中2で習う「確率」の見方の基礎になります。